Question

在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸正半軸上，點P_n在x軸上，其橫坐標為x_n，且{x_n} 是首項為1、公比為2的等比數列，記∠P_nAP_n+1=θ_n，n∈N^*．
（1）若，求點A的坐標；
（2）若點A的坐標為（0，8），求θ_n的最大值及相應n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用{x_n} 是首項為1、公比為2的等比數列，確定通項，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐標；
（2）表示出tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n），利用基本不等式，結合正切函數的單調性，即可求得結論．
解答：解：（1）設A（0，t）（t＞0），根據題意，x_n=2^n-1．
由，知，
而tanθ₃=tan（∠OAP₄-∠OAP₃）==，
所以，解得t=4或t=8．
故點A的坐標為（0，4）或（0，8）．
（2）由題意，點P_n的坐標為（2^n-1，0），tan∠OAP_n=．
∴tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n）==．
因為≥，所以tanθ_n≤=，
當且僅當，即n=4時等號成立．
∵0＜θ_n＜，y=tanx在（0，）上為增函數，
∴當n=4時，θ_n最大，其最大值為．
點評：本題考查等比數列，考查差角的正切函數，考查基本不等式的運用，正確運用差角的正切公式是關鍵．