Question

直四棱柱中,,為等邊三角形, 且 .

⑴ 求與所成角的余弦值；

⑵ 求二面角的大小；

⑶ 設是上的點,當為何值時，平面？并證明你的結論.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵是直四棱柱，

         ∴，且，

         ∴四邊形是平行四邊形，

         ∴，

         即（或其補角）是與所成的角．

         連接，在三角形中，，，

∴．

   故與所成角的余弦值為．

(Ⅱ)設，則，又，，

   ∴平面．

   過作交于，連接，則，

   ∴為二面角的平面角．

   在中，，，，

故二面角的大小為．

（Ⅲ）在上取點，使得，連接，

      ∵， 又，且，

      ∴，

 ∴四邊形是一個正方形．

可證，又，

∴平面，此時．

故當時，有平面．