Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC為等邊三角形，且AA₁=AD=DC=2．
（1）求AC₁與BC所成角的余弦值；
（2）求二面角B-AC₁-C的大小；
（3）設M是BD上的點，當DM為何值時，D₁M⊥平面A₁C₁D？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先將CB平移到C₁B₁，根據兩異面所成角的定義可知∠AC₁B₁（或其補角）是AC₁與BC所成的角，在三角形AB₁C₁中利用余弦定理解出此角即可；
（2）設AC∩BD=O，過O作OH⊥AC₁交AC₁于H，連接BH，根據二面角平面角的定義可知∠OHB為二面角B-AC₁-C的平面角，在Rt△BOH中，求出此角即可；
（3）在BD上取點M，使得OM=OD，連接AM，CM，欲證D₁M⊥平面A₁C₁D，可證D₁M⊥A₁D，D₁M⊥A₁C₁，又A₁D∩A₁C₁=A₁，求出此時的DM．

解答：解：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，
∴C₁C∥B₁B，且C₁C=B₁B，
∴四邊形C₁CBB₁是平行四邊形，
∴C₁B₁∥CB，
即∠AC₁B₁（或其補角）是AC₁與BC所成的角．
連接AB₁，在三角形AB₁C₁中，AC1=AB1=2

3

，C1B1=2

2

，
∴cosAC1B1=

A C 2 1 +B1 C 2 1 -A B 2 1

2AC1•B1C1

=

12+8-12

2•2 3 •2 2

=

6

6

．
故AC₁與BC所成角的余弦值為

6

6

．（5分）

（Ⅱ）設AC∩BD=O，則BO⊥AC，又BO⊥C₁C，AC∩C₁C=C，
∴BO⊥平面AC₁C．
過O作OH⊥AC₁交AC₁于H，連接BH，則BH⊥AC₁，
∴∠OHB為二面角B-AC₁-C的平面角．
在Rt△BOH中，BO=

6

，OH=

6

3

，tanOHB=3，
故二面角B-AC₁-C的大小為arctan3．（10分）
（Ⅲ）在BD上取點M，使得OM=OD，連接AM，CM，
∵AD=DC，∠ADC=90°，又DO⊥AC，且AO=OC，
∴CM=AM=AD，
∴四邊形AMCD是一個正方形．
可證D₁M⊥A₁D，D₁M⊥A₁C₁，又A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴D₁M⊥平面A₁C₁D，此時DM=2

2

．
故當DM=2

2

時，有D₁M⊥平面A₁C₁D．（14分）

點評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．