Question

在高為1的直四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是等腰梯形，AB=BC=CD=1，AD=2． 
（1）求異面直線BC'與CD'所成的角；
（2）求被截面ACD'所截的兩部分幾何體的體積比．

Answer 1

分析：（1）設AD的中點為E，A'D'的中點為E'，連接BE'．由題意證出BCDE-B'C'D'E'是底面為菱形的直四棱柱，可得
∠E'BC'是異面直線BC'與CD'所成的角．在△BC'E'中，利用余弦定理加以計算，即可得到異面直線BC'與CD'所成的角是arccos

3

4

．
（2）由錐體的體積公式，算出三棱錐D'-ACD的體積，再用四棱柱ABCD-A'B'C'D'的體積減去三棱錐D'-ACD的體積，將三棱錐D'-ACD的體積與作減法所得到的體積求比值，即可得到所求體積比．

解答：解：（1）由已知ABCD和A'B'C'D'是全等的底角為60°的等腰梯形，
B'BCC'和C'CDD'是邊長為1的正方形．
設AD的中點為E，A'D'的中點為E'，連接BE'．
∵BCDE-B'C'D'E'是底面為菱形的直四棱柱，
∴BE'∥CD'，∠E'BC'是異面直線BC'與CD'所成的角．
∵在△BC'E'中，BC′=BE′=

2

 ， C′E′=1，cos ∠ E′BC′=

2+2-1

2× 2 × 2

=

3

4

，
∴異面直線BC'與CD'所成的角是arccos

3

4

．
（2）求被截面ACD'所截的兩部分幾何體的體積比．
∵V_D'-ACD=

1

3

×

1

2

×

3

×1×1=

3

6

，V_ABCD-A'B'C'D'=

1+2

2

×

3

2

×1=

3 3

4

，
V_ABCD-A'B'C'D'-V_D'-ACD=

3 3

4

-

3

6

=

7 3

12

，
∴被截面ACD'所截的兩部分幾何體的體積比是

3

6

：

7 3

12

=2：7．

點評：本題在特殊的四棱柱中求異面直線所成角，并求被截面分成的兩部分的體積之比．著重考查了異面直線所成角的定義與求法和柱體、錐體體積求法等知識，屬于中檔題．