Question

已知

a

=（2sinx，m），

b

=（sinx+cosx，1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R），若f（x）的最大值為

2

．
（1）求m的值；
（2）若將f（x）的圖象向左平移n（n＞0）個單位后，關(guān)于y軸對稱，求n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)用向量的數(shù)量積表示的函數(shù)式，寫出函數(shù)的解析式，后面的問題變化為三角函數(shù)的變換，把式子整理成三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)=Asin（ωx+φ）是形式，求出最值．
（2）根據(jù)上一問整理出的函數(shù)式，將函數(shù)的解析式寫成平移后的解析式，根據(jù)此時的函數(shù)關(guān)于縱軸對稱，得到函數(shù)是一個偶函數(shù)，要使的n取到最小值，從解析式上得到n的值．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2sin²x+2sinxcosx+m
=1-cos2x+sin2x+m
=

2

sin（2x-

π

4

）+m+1
∵f（x）的最大值為

2

，而

2

sin（2x-

π

4

）最大值是

2

，m+1是常數(shù)
∴m+1=0，m=-1
（2）由（1）知，f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），將其圖象向左平移n個單位，
對應(yīng)函數(shù)為y=

2

sin[2（x+n）-

π

4

]
平移后函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則該函數(shù)為偶函數(shù)，表達(dá)式的一般形式是
y=

2

sin（2x+

π

2

+kπ）（k∈Z）
要使n取最小正數(shù)，則對應(yīng)函數(shù)為y=

2

sin（2x+

π

2

），
此時n=

3π

8

點評：本題考查向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的變換，考查函數(shù)圖象的平移，考查偶函數(shù)，是一個以向量為載體的題目，這種問題通常出現(xiàn)在高考卷的第一個解答題目上．