Question

已知

a

=（2sinx，1），

b

=（m•cosx-sinx，+1），其中m＞0，若f（x）=

a

•

b

，且最大值

2

．
（1）求m值．
（2）當x．∈[0，

π

2

]時，求f（x）值域．
（3）直線3x-y+c=0是否可能和f（x）圖象相切？敘述理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積公式，結合函數f（x）的最大值為

2

，m＞0，即可求得結論；
（2）整體思維，求得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，利用正弦函數的性質，可得結論；
（3）求導數，求得斜率的范圍，可得結論．

解答：解：（1）∵

a

=（2sinx，1），

b

=（m•cosx-sinx，+1），
∴f（x）=

a

•

b

=msin2x-cos2x
∵函數f（x）的最大值為

2

，
∴

m2+1

=

2

∴m=±1
∵m＞0，∴m=1；
（2）f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
∴-1≤f(x)≤

2

，
∴函數f（x）的值域[-1，

2

]．
（3）3x-y+c=0不可能和f（x）圖象相切．證明如下：
直線3x-y+c=0斜率k=3而f′(x)=2

2

cos(2x+

π

4

)≤2

2

即f′（x）=3無解，故3x-y+c=0不可能和f（x）圖象相切．

點評：本題考查向量的數量積公式，考查函數的值域，考查導數的幾何意義，屬于中檔題．