Question

如圖，已知F₁，F₂是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點Q，且點Q為線段PF₂的中點，則橢圓C的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OQ，PF₁，先利用三角形中位線定理證明OQ∥PF₁，OQ=PF₁，而OQ即為圓的半徑b，從而得焦半徑PF₁=2b，再利用橢圓的定義，得PF₂=2a-2b，最后利用直線與圓相切的幾何性質，證明PF₁⊥PF₂，從而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c間的等式，進而計算離心率即可
解答：解：如圖：連接OQ，PF₁，∵點Q為線段PF₂的中點，∴OQ∥PF₁，OQ=PF₁，
∴PF₁=2OQ=2b，
由橢圓定義，PF₁+PF₂=2a，∴PF₂=2a-2b
∵線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點Q，
∴OQ⊥PF₂，
∴PF₁⊥PF₂，且|F₁F₂|=2c，
∴（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²
即3b=2a，5a²=9c²，
∴e==
故選 B
點評：本題主要考查了橢圓的定義及其運用，直線與圓的位置關系，橢圓的幾何性質及其離心率的求法，屬基礎題