Question

附加題：是否存在一個二次函數f（x），使得對任意的正整數k，當時，都有f（x）=成立？請給出結論，并加以證明．

Answer 1

解：存在符合條件的二次函數．
設f（x）=ax²+bx+c，則當k=1，2，3時有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
聯立①、②、③，解得a=，b=2，c=0．
于是，f（x）=x²+2x．
下面證明二次函數f（x）=x²+2x符合條件．
因為=5（1+10+100++10^k-1）=（10^k-1），
同理：=（10^2k-1）；
=f（（10^k-1））=+2×（10^k-1）
=（10^k-1）²+2×（10^k-1）=（10^k-1）（10^k+1）=（10^2k-1）=
∴所求的二次函數 f（x）=x²+2x符合條件．
分析：先假設存在這樣的二次函數，設出二次函數的解析式，根據所給的三對數值，寫出關于a，b，c的方程組，利用待定系數法得到結果，后面進行證明．
點評：本題考查二次函數的性質，考查利用待定系數法求函數的解析式，注意在解題過程中所給的數據雖然大，但是規律性很強，注意應用．