Question

（附加題）設集合A={x|x=m+n

2

，其中m，n∈Z}
（1）對于給定的整數m，n，如果滿足0＜m+n

2

＜1，那么集合A中有幾個元素？
（2）如果整數m，n最大公約數為1，問是否存在x，使得x和

1

x

都屬于A，如果存在，請寫出一個，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）若n=0，則滿足0＜m＜1的整數m不存在，此時為空集，沒有元素，若n≠0，求出m的范圍，對于任意給定的整數n，找出符合條件的m，從而確定集合中元素的個數；
（2）根據x和

1

x

都屬于A建立等式關系，化成集合A中元素的形式，再根據整數m，n最大公約數為1，可得m²-2n²是1的公約數，即m²-2n²=±1，然后取一m和n使得滿足條件即可．

解答：解：（1）若n=0，則滿足0＜m＜1的整數m不存在，此時為空集
若n≠0，則-n

2

＜m＜1-n

2

，對于任意給定的整數n，只有一個整數m符合條件，此時為單元集
（2）設x∈A，則x=m+n

2

，m，n∈Z，則

1

x

=

m- 2 n

m2-2n2

=

m

m2-2n2

-

n

m2-2n2

2

，m，n∈Z
如果

1

x

∈A，則m²-2n²是1的公約數，即m²-2n²=±1，不妨取m=3，b=2，即x=3+2

2

點評：本題主要考查了集合中元素的個數，同時考查了最大公約數的概念，屬于中檔題．