Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）證明：，.

Answer 1

【答案】（1）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0（2）證明見解析

【解析】

（1），討論和兩種情況，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性得到恒成立，故函數(shù)沒有零點(diǎn).

（2）只需要證明即可，討論，兩種情況，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性計(jì)算函數(shù)最值，得到證明.

（1）因?yàn)?/span>，，

①當(dāng)時(shí)，，，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

所以.

②當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增；所以.

綜上，，因此，沒有零點(diǎn)，即的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

（2）要證，，

只要證，即可.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，.

①當(dāng)時(shí)，

因?yàn)楫?dāng)，，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，，單調(diào)遞增，

又，所以在上單調(diào)遞增，

所以，，

所以.

②當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，

所以，，

所以.

又因?yàn)?/span>，所以.

因此，時(shí)，.