Question

求實數a的取值范圍使不等式sinx+cosx+4sinx•cosx+1-a≤0恒成立．

Answer 1

分析：令sinx+cosx=t，則有sinxcosx=

t2-1

2

，t∈[-

2

，

2

]．由題意可得 a≥2t²+t-1=2(t+

1

4

)2-

9

8

恒成立．利用二次函數的性質求得函數y=2(t+

1

4

)2-

9

8

的最大值為3+

2

，從而得到a的范圍．

解答：解：令sinx+cosx=t，則有sinxcosx=

t2-1

2

，t∈[-

2

，

2

]．
不等式sinx+cosx+4sinx•cosx+1-a≤0恒成立，即 a≥2t²+t-1=2(t+

1

4

)2-

9

8

  恒成立．
而對于函數y=2(t+

1

4

)2-

9

8

，當t=

2

時，函數y取得最大值為3+

2

，故有a≥3+

2

，
故a的范圍是[3+

2

，+∞）．

點評：本題主要考查函數的恒成立問題，求函數的最大值，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．