Question

已知關于x的實系數二次方程x²+ax+b=0有兩個實數根α、β，

證明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.

Answer 1

證明略

解析:

證明:(1）充分性：由韋達定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.

設f(x)=x²+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.

即有4+b>2a>－(4+b)

又|b|＜44+b>02|a|＜4+b

(2)必要性:

由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根.

∵α，β是方程f(x)=0的實根，

∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2.