Question

已知關于x的實系數一元二次不等式ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，則M=

a+2b+4c

b-a

的最小值是

8

．

Answer 1

分析：根據題意，由一元二次不等式的性質，可得△=b²-4ac≤0，a＞0，對于M，分子、分母同乘a，進而對其變形可得M=

1+2• b a +( b a )2

b a -1

，由換元法，令

b

a

=t，(t＞1)，結合基本不等式分析可得答案．

解答：解：由題意，ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，
則必有△=b²-4ac≤0，a＞0，
對于M=

a+2b+4c

b-a

，分子、分母同乘a可得，M=

a2+2ab+4ac

a(b-a)

≥

a2+2ab+b2

ab-a2

=

1+2• b a +( b a )2

b a -1

，
令

b

a

=t，(t＞1)，
則M≥

t2+2t+1

t-1

=(t-1)+

4

t-1

+4≥2

4

+4=8（當且僅當t=3，即b=3a時等號成立）；
故答案為8．

點評：本題考查基本不等式的應用，關鍵是對M變形，轉化為基本不等式的問題．