Question

已知函數：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，若函數g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區間（t，3）上有最值，求實數m的取值范圍；
（3）求證：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（2））處的切線的傾斜角為45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到 g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化簡，求出導函數，因為函數在（2，3）上總存在極值得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

解出m的范圍記即可；（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，對于函數取單調區間上的正整數自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．

解答：解：（1）f′(x)=

a

x

-a(x＞0)，
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，減區間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），減區間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調函數
（2）因為函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-2
因為對于任意的t∈[1，2]，函數 g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（t，3）上
總存在極值，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得 -

37

3

＜m＜-9
（3）令a=-1（或a=1）
此時f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3，在[1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N^*，
則有ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴要證ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!
即要證ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜1，
而ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)
＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．

點評：此題是個難題．本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，已知函數曲線上一點求曲線的切線方程即對函數導數的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數的數學問題的處理，構造函數求解證明不等式問題．以及考查學生創造性的分析解決問題的能力．