Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的長半軸長為2，離心率為，左右焦點分別為，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于，兩點，與以，為直徑的圓交于，兩點，且滿足，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ） ；

（Ⅱ） 直線的方程為或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題設可知，結合即可求得從而得到橢圓的標準方程；

（Ⅱ） 由題設，以為直徑的圓的方程為，利用原點到直線的距離將弦CD的長表示為 的函數，類似地，利用直線與橢圓的位置關系，結合方程組消去 所得的一元二次方程和韋達定理將線段AB的長也表示成 的函數，并由確定的值，從而得到所求的直線方程.

試題解析：（Ⅰ）由題設知 2分

解得

∴ 橢圓的方程為． 4分

（Ⅱ）由題設，以為直徑的圓的方程為， 5分

∴ 圓心的直線的距離，由得．（*） 6分

∴ ． 7分

設由，得， 8分

由求根公式可得． 9分

∴ ． 10分

由得， 解得，滿足（*）． 11分

∴ 直線的方程為或． 12分

考點：1、橢圓的標準方程與簡單幾何性質；2、直線與圓的位置關系；3、直線與橢圓的位置關系綜合問題.