Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且an=

n

n-1

an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N^*）．
（I）求a₂，a₃的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）令bn=

3n-1

an

(n∈N*)，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，試比較S2n與n的大小；
（III）令cn=

an+1

n+1

(n∈N*)，數(shù)列{

2cn

(cn-1)2

}的前n項和為T_n，求證：對任意n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer 1

分析：（I）代入n=2，n=3即可求得a₂，a₃的值；遞推式兩邊同除以n得

an

n

=

an-1

n-1

+2•3n-2．利用累加法可得

an

n

，從而得a_n，注意檢驗n=1時的情形；
（II）先由（Ⅰ）求出b_n，令f（n）=S2n-n，通過作差可比較f（n+1）與f（n）的大小，從而得知f（n）的單調(diào)性，易比較n=1、2、3時f（n）與n的大小，結(jié)合其單調(diào)性可得結(jié)論；
（III）由（Ⅰ）易求c_n，

2cn

(cn-1)2

，對

2cn

(cn-1)2

進行放大后裂項，則可用裂項相消法求得T_n，進而可得結(jié)論；

解答：（I）解：當(dāng)n=2時，a2=

2

2-1

a2-1+2•2•32-2=2+4=6，
當(dāng)n=3時，a3=

3

3-1

a3-1+2•3•33-2=9+18=27．
因為an=

n

n-1

an-1+2n•3n-2，所以

an

n

=

an-1

n-1

+2•3n-2．
當(dāng)n≥2時，由累加法得

an

n

-

a1

1

=2+2×3+2×32+…+2×3n-2，
因為a₁=1，所以n≥2時，有

an

n

=1+

2(1-3n-1)

1-3

=3n-1，即an=n•3n-1(n≥2)．
又n=1時，a1=1•31-1=1，
故an=n•3n-1(n∈N*)．
（II）解：n∈N*時，bn=

3n-1

an

=

1

n

，則S2n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

．
記函數(shù)f(n)=S2n-n=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-n，
所以f(n+1)=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

)-(n+1)．
則f(n+1)-f(n)=(

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

)-1＜

2n

2n+1

-1＜0．
所以f（n+1）＜f（n）．
由于f(1)=S21-1=(1+

1

2

)-1＞0，此時S21＞1；f(2)=S22-2=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

)-2＞0，
此時S22＞2；f(3)=S23-3=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

)-3＜0，此時S23＜3；
由于f（n+1）＜f（n），故n≥3時，f（n）≤f（3）＜0，此時S2n＜n．
綜上所述，當(dāng)n=1，2時，S2n＞n；當(dāng)n≥3（n∈N*）時，S2n＜n．
（III）證明：對于cn=

an+1

n+1

=3n，有

2cn

(cn-1)2

=

2×3n

(3n-1)2

．
當(dāng)n≥2時，

2×3n

(3n-1)2

≤

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

．
所以當(dāng)n≥2時，Tn=

3

2

+

2×32

(32-1)2

+…+

2×3n

(3n-1)2

≤

3

2

+(

1

2

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=2-

1

3n-1

＜2．
且T1=

3

2

＜2．
故對n∈N*，T_n＜2得證．

點評：本題考查利用數(shù)列遞推式求通項公式、數(shù)列求和、綜合應(yīng)用數(shù)列解決問題，考查學(xué)生解決問題的能力．