Question

已知函數f(x)＝e^x－x(e為自然對數的底數)．

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)設不等式f(x)＞－ax的解集為P，且{x|0≤}x≤2}P，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)設nN*，證明：＜．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解： 　　f(x)的導數(x)＝ex－1． 　　令(x)＞0，解得x＞0；令(x)＜0，解得x＜0． 　　從而f(x)在(－∞，0)內單調遞減，在(0，＋∞)內單調遞增． 　　所以，當x＝0時，f(x)取得最小值1．　　3分 　　(Ⅱ)解： 　　因為不等式f(x)＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}P， 　　所以對于任意x∈[0，2]，不等式f(x)＞ax恒成立．　　4分 　　由f(x)＞ax，得(a＋1)x＜ex． 　　當x＝0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈(0，2]的情況．　　5分 　　將(a＋1)x＜ex變形為a＜， 　　令g(x)＝－1，則g(x)的導數(x)＝， 　　令(x)＞0，解得x＞1；令(x)＜0，解得x＜1． 　　從而g(x)在(0，1)內單調遞減，在(1，2)內單調遞增． 　　所以，當x＝1時，g(x)取得最小值e－1， 　　從而實數a的取值范圍是(－∞，e－1)．　　8分 　　(Ⅲ)證明： 　　由(Ⅰ)得，對于任意x∈R，都有ex－x≥1，即1＋x≤ex．　　9分 　　令x＝(n∈N*，i＝1，2，…，n－1)，　則0＜1＜ 　　∴　(i＝1，2，…，n－1)， 　　即　(i＝1，2，…，n－1)． 　　∴ 　　∵e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－1＋1＝， 　　∴　　14分