Question

如圖，P為正方形ABCD所在平面外一點PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（I）求證：EF∥平面ABCD；
（II）求證：平面PBC∥平面EFG；
（III）求異面直線EG與BD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）要證線面平行，根據線面平行的判定定理，只要證明平面外的直線平行于平面內的一條直線即可；
（II）要證面面平行，可根據面面平行的判定定理，利用一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一平面內的兩條相交直線即可；
（III）建立空間直角坐標系，將求異面直線EG與BD所成的角的余弦值問題，轉化為向量夾角的余弦值即可．

解答：證明：（I）∵E，F分別是線段AP，PD的中點，
∴EF∥AD
∵AD?平面ABCD，EF?平面ABCD
∴EF∥平面ABCD；
（II）∵E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點，
∴FG∥PC，EF∥AD
在正方形ABCD中，∵AD∥BC，∴EF∥BC
∵PC?平面PBC，BC?平面PBC，PC∩BC=C
EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG=F
∴平面PBC∥平面EFG；
（III）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
則B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，1），G（1，2，0）．
∴

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，
∴cos＜

EG

，

BD

＞=

EG • BD

| EG |•| BD |

=

-2+4

6 •2 2

=

3

6

，
∴異面直線EG與BD所成角的大小為arccos

3

6

．

點評：本題以線面垂直為載體，考查線面平行，面面平行，考查線線角，解題時正確運用線面平行、面面平行的判定定理是解題的關鍵．