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數列{an}滿足Sn＝2n－an，先計算數列的前4項，后猜想an并證明之．

答案：
解析：

　　解析：由a1＝2－a1得a1＝1，

　　由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝．

　　由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝．

　　由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝．

　　猜想an＝．

　　下面證明猜想正確．

　　(1)當n＝1時，由上面的計算可知猜想是成立的．

　　(2)假設當n＝k時猜想成立，那么ak＝，

　　此時Sk＝2k－ak＝2k－．

　　當n＝k＋1時，由Sk+1＝2(k＋1)－ak+1得

　　Sk＋ak+1＝2(k＋1)－ak+1．

　　∴ak+1＝[2(k＋1)－Sk]

　　＝k＋1－(2k－)＝．

　　這就是說，當n＝k＋1時，等式也成立．

　　由(1)(2)可以斷定，an＝對任意正整數n都成立．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足Sn=2n-an（n∈N）
（Ⅰ）計算a1，a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想通項公式an，并用數學歸納法證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足Sn=2n-an（n∈N*）．
（1）計算a1，a2，a3，a4；
（2）由（1）猜想通項公式an．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足Sn=2n-an，其中Sn=a1+a2+a3+…+an，求a1，a2，a3，a4值，猜想an，并用數學歸納法加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正項數列{ an }滿足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 （n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是數列{ an }的前n項和．
（Ⅰ）求通項an；
（Ⅱ）記數列{
1
anan+1
}的前n項和為Tn，若Tn＜2對所有的n∈N*都成立．求證：0＜t≤1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若正數數列{an}滿足Sn=
1
2
(an+
1
an
)，其中Sn是數列{an}的前n項和．
（1）求Sn；
（2）若bn=(
S
2
n
)
1
S
2
n+1
，是否存在bk=bm（k≠m）？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，說明理由．

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同步練習冊答案
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