Question

已知雙曲線上存在兩點M，N關于直線y=x+m對稱，且MN的中點在拋物線y²=9x上，則實數m的值為

1. A.
   4
2. B.
   -4
3. C.
   0或4
4. D.
   0或-4

Answer 1

D
分析：根據雙曲線上存在兩點M，N關于直線y=x+m對稱，求出MN中點P（-，m），利用MN的中點在拋物線y²=9x上，即可求得實數m的值．
解答：∵MN關于y=x+m對稱∴MN垂直直線y=x+m，MN的斜率-1，MN中點P（x₀，x₀+m）在y=x+m上，且在MN上
設直線MN：y=-x+b，∵P在MN上，∴x₀+m=-x₀+b，∴b=2x₀+m
由消元可得：2x²+2bx-b²-3=0
∴M_x+N_x=-b，∴x₀=-，∴b=
∴MN中點P（-，m）
∵MN的中點在拋物線y²=9x上，
∴
∴m=0-或4
故選D．
點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查對稱性，考查拋物線的標準方程，解題的關鍵是確定MN中點P的坐標．