Question

（2011•泉州模擬）已知雙曲線mx²-y²=1的右頂點(diǎn)為A，若該雙曲線右支上存在兩點(diǎn)B，C使得△ABC為正三角形，則m的取值范圍是（　�。�

• A．m＜

  1

  3

• B．0＜m＜

  1

  3

• C．m＜3
• D．0＜m＜3

Answer 1

分析：要使該雙曲線右支上存在兩點(diǎn)B，C使得△ABC為正三角形，則需過右頂點(diǎn)A，且斜率為

3

3

的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，也只需其斜率大于漸近線y=

m

x的斜率，從而得解．

解答：解：由題意，雙曲線的漸近線為：y=±

m

x
要使該雙曲線右支上存在兩點(diǎn)B，C使得△ABC為正三角形，則需過右頂點(diǎn)A，且斜率為

3

3

的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，也只需其斜率大于漸近線y=

m

x的斜率
∴

3

3

＞

m

∴0＜m＜

1

3

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的漸近線，考查直線與雙曲線的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為過右頂點(diǎn)A，且斜率為

3

3

的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．