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已知一次函數(shù)f(x)=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1),且g(x)=x•f(x)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若x0滿足g(x0)+
12
<0
,試判斷g(x0+2)的符號(hào).
分析:(1)根據(jù)一次函數(shù)f(x)=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,1)可求出b與k的關(guān)系,根據(jù)g(x)=x•f(x)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱可求出k與b的值;
(2)先求出g(x)的解析式,然后根據(jù)g(x0)+
1
2
<0
x02-2x0+
1
2
<0
,從而可判斷g(x0+2)的符號(hào).
解答:解(1)由已知3k+b=1…(4分)
∴b=1-3k(k≠0),∴f(x)=kx+1-3k,g(x)=kx2+(1-3k)x.
∵g(x)=x•f(x)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
∴-
1-3k
2k
=1,…(7分)
∴k=1.∴f(x)=x-2.…(8分)
(2)由(1)g(x)=x2-2x,g(x0)+
1
2
<0
,即x02-2x0+
1
2
<0
…(12分)
所以2x0x02+
1
2

g(x0+2)=(x0+2)2-2(x0+2)=x02+2x0x02+x02+
1
2
>0

即g(x0+2)的符號(hào)為正號(hào).…(14分)
注:(2)若由g(x0)+
1
2
=0
x0=
3
2
給(4分),猜想出為正給(2分),其他方法相應(yīng)給分.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸,以及函數(shù)值符號(hào)的判定,同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.
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(1)當(dāng)a=3時(shí),解不等式|f(x)|<4;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(sin2x)(-
π
6
≤x≤
π
3
)的最大值為4,求實(shí)數(shù)a的值.

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(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足條件:f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.

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