Question

（2012•九江一模）已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，且對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，則方程f（x）-f′（x）=2的解所在的區間是（　　）

• A．（0，

  1

  2

  ）
• B．（

  1

  2

  ，1）
• C．（1，2）
• D．（2，3）

Answer 1

分析：根據題意，由單調函數的性質，可得f（x）-log₂x為定值，可以設t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，對其求導可得f′（x）；將f（x）與f′（x）代入f（x）-f′（x）=2，變形化簡可得log₂x-

1

ln2•x

=0，令h（x）=log₂x-

1

ln2•x

，由二分法分析可得h（x）的零點所在的區間為（1，2），結合函數的零點與方程的根的關系，即可得答案．

解答：解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
則f（x）-log₂x為定值，
設t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
則f（x）=log₂x+2，f′（x）=

1

ln2•x

，
將f（x）=log₂x+2，f′（x）=

1

ln2•x

代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-

1

ln2•x

=2，
即log₂x-

1

ln2•x

=0，
令h（x）=log₂x-

1

ln2•x

，
分析易得h（1）=

1

ln2

＜0，h（2）=1-

1

2ln2

＞0，
則h（x）=log₂x-

1

ln2•x

的零點在（1，2）之間，
則方程log₂x-

1

ln2•x

=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故選C．

點評：本題考查二分法求函數的零點與函數零點與方程根的關系的應用，關鍵點和難點是求出f（x）的解析式．