Question

(本題滿分12分) 如圖，平面⊥平面，其中為矩形，為梯形，∥，⊥，＝＝2＝2，為中點．
(Ⅰ) 證明；
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值為，求的長．

Answer 1

(Ⅰ) 證明見解析(Ⅱ)

試題分析：(Ⅰ)由已知為正三角形，為中點，所以 ，
因為平面⊥平面，平面⊥平面,
所以平面，所以.                                            ……4分
(Ⅱ) 方法一：設．取的中點，由題意得．
因為平面⊥平面，，所以⊥平面，
所以,所以⊥平面．
過作，垂足為，
連結，則，
所以為二面角的平面角．                                         ……8分
在直角△中，，得．
在直角△中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以＝．
在直角△中，，＝，得＝．
因為＝＝，得x＝，所以＝．                      ……12分
方法二：設．以為原點，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系．
則 (0，0，0)，(－2，0，0)，(，0，0)，(－1，，0)，(－2，0，)，
所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－)．
因為⊥平面，所以平面的法向量可取＝(0，1，0)．
設＝為平面的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．因為cos<，>＝＝，
得x＝，所以＝．                                                   ……12分
點評：遇到立體幾何的證明題，要緊扣定理，要把定理要求的條件一一列清楚；而利用空間向量解決立體幾何問題時，要建立右手空間直角坐標系，要準確計算.