Question

已知a∈R,函數f(x)=x²|x-a|.

(1)當a=2時,求使f(x)=x成立的x的集合;

(2)求函數y=f(x)在區間［1,2］上的最小值.

Answer 1

解：(1)由題意,f(x)=x²|x-2|.

    當x＜2時,f(x)=x²(2-x)=x,解得x=0或x=1;

    當x≥2時,f(x)=x²(x-2)=x,解得x=1+.

    綜上,所求解集為{0,1,1+}.

(2)設此最小值為m.

①當1＜a≤1時,在區間［1,2］上,f(x)=x³-ax².

    因為f′(x)=3x²-2ax=3x(x-a)＞0,x∈(1,2),

    則f(x)是區間［1,2］上的增函數,所以m=f(1)=1-a.

②當1＜a≤2時,在區間［1,2］上,f(x)=x²|x-a|≥0,由f(a)=0知m=f(a)=0.

③當a＞2時,在區間［1,2］上,f(x)=ax²-x³.f′(x)=2ax-3x²=3x(a-x).

    若a≥3,在區間(1,2)內f′(x)＞0,從而f(x)為區間［1,2］上的增函數,由此得m=f(1)=a-1.

    若2＜a＜3,則1＜a＜2.

    當1＜x＜a時,f′(x)＞0,從而f(x)為區間［1,a］上的增函數;

    當a＜x＜2時,f′(x)＜0,從而f(x)為區間［a,2］上的減函數.

    因此,當2＜a＜3時,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

    當2＜a≤時,4(a-2)≤a-1,故m=4(a-2);

    當＜a＜3時,a-1＜4(a-2),故m=a-1.

    綜上所述,所求函數的最小值m=