Question

設f（x）=

x3

3

，g(x)=t

2

3

x-

2

3

t（t∈R）
（Ⅰ）當t=8時，求函數y=f（x）-g（x）的單調區間；
（Ⅱ）求證：當x＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數t成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數y=f（x）-g（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據g′（x）＞0求得的區間是單調增區間，g′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（Ⅱ）令h（x）=

x3

3

-t 

2

3

x-

2

3

t（x＞0）．利用導數求出fh（x）最小值，從而證得當t＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數x都成立．

解答：解：（Ⅰ）當t=8時，g（x）=4x-

16

3

∴y=f（x）-g（x）=

x3

3

-4x+

16

3

，y′=x²-4
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函數y=f（x）-g（x）的單調遞增區間是（-∞，-2）和（2，+∞），
單調遞減區間是（-2，2）
（Ⅱ）證明：令h（x）=f（x）-g（x）=

x3

3

-t 

2

3

x-

2

3

t（x＞0）
由h′（x）=x2-t 

2

3

，因為t＞0，若h′（x）=x2-t 

2

3

=0，解得x=t 

1

3

當x∈（t 

1

3

，+∞）時，h′（x）＞0；當x∈（0，t 

1

3

）時，h′（x）＜0
當x變化時，h（x）與h′（x）的變化情況如下表：

x	(0，t  1 3 )	t  1 3	(t  1 3 ，+∞)
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

∴h（x）在（0，+∞）內有唯一的極小值，故該極小值也是最小值，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值h（t 

1

3

）=0，故當x＞0時，f（x）-g（x）≥0對任意正實數t成立．
故當x＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數t都成立．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數在最大值、最小值問題中的應用、導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力，難度較大．