Question

17．已知函數f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a的值；
（2）當a=1時，若f（x）+f（x+5）≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≤3就是|x-a|≤3，求出它的解集，與{x|-1≤x≤5}相同，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，f（x）+f（x+5）≥m對一切實數x恒成立，根據f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求實數m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）≤3得|x-a|≤3，
解得a-3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，
所以a-3=-1且a+3=5，解得a=2．（6分）
（2）當a=1時，f（x）=|x-1|．
設g（x）=f（x）+f（x+5）=|x-1|+|x+4|，
所以當x＜-4時，g（x）＞5；
當-4≤x≤1時，g（x）=5；
當x＞1時，g（x）＞5．
綜上可得，g（x）的最小值為5．
從而，若f（x）+f（x+5）≥m
即g（x）≥m對一切實數x恒成立，則m的取值范圍為（-∞，5]．（12分）

點評 本題考查函數恒成立問題，絕對值不等式的解法，考查轉化思想，是中檔題，