Question

（2009•臨沂一模）給出下列四個命題：
①“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的必要不充分條件；
②拋物線x=ay²（a≠0）的焦點為（0，

1

2a

）；
③函數f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于y=x，則（

2

2

，+∞）是f（x）的單調遞增區間；
④a

2

3

=

4

9

（a＞0），則log

2

3

a=3．
其中正確命題的序號是

③④

（請將你認為是真命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①利用充分條件必要條件的定義進行判斷．②利用拋物線的性質進行判斷．③利用導數的幾何意義以及導數的應用判斷．④利用指數冪的運算和對數的運算進行求值．

解答：解：①由x（x-3）＜0得0＜x＜3，由|x-1|＜2得-2＜x-1＜2，解得-1＜x＜3，所以“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的充分不必要條件所以①錯誤．
②拋物線的標準方程為y2=

1

a

x=4×

1

4a

x，所以對應的焦點坐標為(

1

4a

，0)，所以②錯誤．
③函數的定義域為（0，+∞），函數的導數為f′(x)=2ax-

1

x

，所以f'（1）=2a-1，因為函數f（x）=ax²-lnx的圖象在x=1處的切線平行于y=x，
則f'（1）=2a-1=1，解得a=1，此時f（x）=x²-lnx，f′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，由f′(x)=

2x2-1

x

＞0，解得x＞

2

2

，即函數的單調增區間為（

2

2

，+∞），所以③正確．
④由a

2

3

=

4

9

（a＞0），得a=(

2

3

)3，所以log

2

3

a=log

2

3

(

2

3

)3=3，所以④正確．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．