Question

設函數f（x）=a•b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，-sin2x），x∈R．
（1）求函數f（x）的單調減區間；
（2）若x∈[-，0]，求函數f（x）的值域；
（3）若函數y=f（x）的圖象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函數y=2sin2x的圖象，求實數m、n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據向量的數量積，然后利用兩角和與差的正弦函數公式得到f（x），然后找出正弦函數的單調減區間為[2kπ+，2kπ+]，解出x的范圍即可得到f（x）的單調減區間；
（2）由x的范圍求出2x+的范圍，利用正弦函數的圖象得到f（x）的值域；
（3）函數按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后函數的解析式設為y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-）+1+n．對應項相等得到m與n的值．
解答：解：（1）因為f（x）=2cos²x-sin2x=-sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z．
因此，函數f（x）的單調減區間為[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）當x∈[-，0]時，2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，因此，函數f（x）的值域為[2，3]．

（3）函數y=f（x）的圖象按向量c=（m，n）（|m|＜）
平移后得到的圖象對應的函數是y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-）+1+n．
令-2m+=2kπ，k∈Z，1+n=0，得m=-kπ+，n=-1．又|m|＜，故m=．
點評：考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數公式進行化簡求值，會進行平面向量的數量積運算，會求符合函數的單調區間．考查學生熟悉正弦函數的圖象與性質．