Question

如圖，等邊三角形ABC的面積等于1，連接這個(gè)三角形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)小三角形，又連接這個(gè)小三角形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)更小的三角形，如此無限繼續(xù)下去，求所有這些三角形的面積的和．

Answer 1

分析：先設(shè)第n個(gè)三角形的面積為a_n根據(jù)三角形面積公式得出a₁，a₂，a₃，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而求出前n項(xiàng)和的極限，即可得到答案．

解答：解：設(shè)第n個(gè)三角形的面積為a_n，則a₁=

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

，a₂=

1

2

×

1

2

×

1

2

×sin60°=

3

16

，
a₃=

1

2

×

1

4

×

1

4

×sin60°=

3

64

∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為

3

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列．
所有這些三角形的面積的和為

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…a_n）=

lim

n→∞

3 4 [1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

=

3

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．