Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值；
（Ⅱ）令g(x)=f(x+

π

8

)-1，判斷函數g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角公式，和輔助角公式，我們易將函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x化成正弦型函數，進而根據正弦型函數的性質判斷出f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值．
（II）根據函數圖象的平移變換法則，我們易求出函數g（x）的解析式，根據余弦型函數的性質，我們易得到函數g（x）的奇偶性，根據奇偶性的定義，易給出證明．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
其最小正周期是T=

2π

2

=π，
又當2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ，
即x=kπ-

3π

8

(k∈Z)時，sin(2x+

π

4

)取得最小值-1，
所以函數f（x）的最小值是1-

2

，此時x的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．        （7分）
（Ⅱ）g(x)=f(x+

π

8

)-1=

2

sin(2(x+

π

8

)+

π

4

)=

2

sin(2x+

π

2

)=

2

cos2x
∵g(-x)=

2

cos(-2x)=

2

cos2x=g(x)．
∴函數g（x）是偶函數．     （7分）

點評：本題考查的知識點是三角函數中恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，三角函數的最值，熟練掌握正弦型函數和余弦型函數的性質是解答本題的關鍵．