Question

已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，，對任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又數列a_n滿足，設．
（1）在（-1，1）內求一個實數t，使得；
（2）證明數列f（a_n）是等比數列，并求f（a_n）的表達式和的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得對任意n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用條件把2f（）進行轉化代入已知即可求出實數t；
（2）把f（a_n+1）利用已知條件進行整理得到f（a_n+1）與f（a_n）之間的關系式，即可證明數列f（a_n）是等比數列，進而求f（a_n）的表達式；利用求得的f（a_n）的表達式代入即可求出的值；
（3）利用（2）的結論求出b_n的表達式，代入，整理后把恒成立問題轉化為恒成立，最后利用函數的單調性求出的最值即可求出m的最小值．
解答：解：（1），
∴（3分）
（2）∵，且
∴，
即
∴f（a_n）是以-1為首項，2為公比的等比數列，（2分）
∴f（a_n）=-2^n-1．（4分）
∴．（8分）
（3）由（2）得，．（1分）
若對任意n∈N^*恒成立，即，恒成立（3分）
∵n∈N^*，∴當n=1時，有最大值4，故m＞4．（5分）
又m∈N^*，∴存在m≥5，使得對任意n∈N^*，有．
所以m_min=5．（7分）
點評：本題是對數列和函數知識的綜合考查．這一類型題，一般都是利用函數的性質來研究數列的性質，做題的關鍵是把函數的性質理解透徹．