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已知函數(shù)f(x)定義在(-1,1)上,對于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且當x<0時,f(x)>0.
(Ⅰ)驗證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件;
(Ⅱ)判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性,并加以證明.
分析:(I)先求定義域看其是否滿足條件,然后驗證函數(shù)是否滿足f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,最后求出當x<0時的值域,看是否滿足即可;
(II)要判定函數(shù)f(x)在(-1,1)上的奇偶性,只需判定f(-x)與f(x)的關系,先令x=y=0求出f(0),然后令y=-x即可判定,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判定單調(diào)性.
解答:解:(Ⅰ)由
1-x
1+x
>0
可得-1<x<1,即其定義域為(-1,1)
f(x)+f(y)=ln
1-x
1+x
+ln
1-y
1+y
=ln(
1-x
1+x
1-y
1+y
)
=ln
1-x-y+xy
1+x+y+xy
=ln
1-
x+y
1+xy
1+
x+y
1+xy
=f(
x+y
1+xy
)

又當x<0時,1-x>1+x>0,∴
1-x
1+x
>1
ln
1-x
1+x
>0

f(x)=ln
1-x
1+x
滿足這些條件.(3分)
(Ⅱ)∵f(0)+f(0)=f(0)?f(0)=0
∴f(-x)+f(x)=f(0)=0?f(-x)=-f(x)
∴f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù).
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
x-y
1-xy
)

當-1<x<y<1時,
x-y
1-xy
<0
,由條件知f(
x-y
1-xy
)>0

即f(x)-f(y)>0∴f(x)在(-1,1)上是減函數(shù).
點評:本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性性,屬于中檔題,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質(zhì),單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì).
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)定義在R上,并且對于任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x≠y時,f(x)≠f(y),x>0時,有f(x)>0.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)若f(1)=1,解關于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•連云港二模)已知函數(shù)f(x)定義在正整數(shù)集上,且對于任意的正整數(shù)x,都有f(x+2)=2f(x+1)-f(x),且f(1)=2,f(3)=6,則f(2009)=
4018
4018

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(-1,1)上,f(
1
2
)=-1,且當x,y∈(-1,1)時,恒有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
),又數(shù)列{an}滿足:a1=
1
2
,an+1=
2an
1+
a
2
n

(I)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);
(II)求f(an)關于n的函數(shù)解析式;
(III)令g(n)=f(an)且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
,若對于任意n∈N+,都有b1+b2+…+bnt2-3t恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)定義在R上,對任意的x∈R,f(x+1001)=
2
f(x)
+1
,已知f(11)=1,則f(2013)=
 

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