Question

【題目】已知數列的前項和為，把滿足條件的所有數列構成的集合記為.

（1）若數列通項為，求證：；

（2）若數列是等差數列，且，求的取值范圍；

（3）若數列的各項均為正數，且，數列中是否存在無窮多項依次成等差數列，若存在，給出一個數列的通項；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）數列中不存在無窮多項依次成等差數列.

【解析】

(1)由，得和，再證明，即可滿足題意；（2）設的公差為，由，得，又，即，所以d=1，的取值范圍；（3）假設數列中存在無窮多項依次成等差數列，不妨設該等差數列的第項為（為常數），由，得到當時，關于的不等式有無窮多個解，推出矛盾，所以不存在.

（1）因為，所以，所以 ，所以，即.

（2）設的公差為，因為，

所以

特別的當時，，即，

由得 ，整理得，因為上述不等式對一切恒成立，所以必有，解得，

又，所以，

于是，即，

所以，即，

所以，

因此的取值范圍是.

（3）由得，所以，即，

所以，

從而有，

又，所以，即，

又，，

所以有，所以，

假設數列中存在無窮多項依次成等差數列，

不妨設該等差數列的第項為（為常數），

則存在，，使得，

即，

設，，，

則

即，

于是當時，，

從而有：當時，即，

于是當時，關于的不等式有無窮多個解，顯然不成立，

因此數列中是不存在無窮多項依次成等差數列.