Question

如圖，是以為直徑的半圓上異于的點，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且。

（1）求證：。
（2）若異面直線和所成的角為，求平面和平面所成的銳二面角的余弦值。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）由面面垂直的性質定理可得面，從而可得，又因為可證得平面，從而可證。（2）異面直線和所成的角即為直線和所成的角即。可用空間向量法求所求的二面角，先建系，得出點的坐標，和向量坐標，分別求平面和平面的法向量，用數量積公式求兩法向量夾角的余弦值。但需注意兩法向量所成的角與所求二面角相等或互補，需從圖中觀察得出。
試題解析：（1）∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線為，平面，，∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.    6分
(2)如圖，以點為坐標原點，所在的直線為軸，過點與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系.由異面直線和所成的角為，知，

∴，
∴，由題設可知，，∴，.設平面的一個法向量為，
由，得，，取，得.
∴.又平面的一個法向量為，∴.
平面與平面所成的銳二面角的余弦值.             13分