Question

【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，且所在直線(xiàn)的斜率之積等于，記頂點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，且為的重心（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：的面積為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見(jiàn)解析，定值為.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)題意列方程即可求解.

（Ⅱ）設(shè)，，，由為的重心，可得，從而，，將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立整理利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，再利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式即可求解.

（Ⅰ）設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)的斜率為

同理，直線(xiàn)的斜率為

由題設(shè)條件可得，.

化簡(jiǎn)整理得，頂點(diǎn)的軌跡的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)，，，

因?yàn)?/span>為的重心，所以，

所以，，

由得，

，，

，，∴，

又點(diǎn)在橢圓上，所以，

∴，

因?yàn)?/span>為的重心，所以是的倍，

，

原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

.

所以，

所以，的面積為定值，該定值為.