Question

對(duì)?n∈N₊，直線y=

1

n

x-2總與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率e范圍為_(kāi)_____．

Answer 1

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y=

b

a

x，
當(dāng)n取最小值1時(shí)，直線y=

1

n

x-2的斜率為1
為了保證對(duì)?n∈N₊，直線y=

1

n

x-2總與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，
只須：漸近線y=

b

a

x的斜率大于當(dāng)n取最小值1時(shí)，直線y=

1

n

x-2的斜率即可，
∴

b

a

＞1，離心率e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+(

b

a

) 2＞2，
∴e＞

2

，
故答案為：(

2

，+∞)．