Question

對?n∈N₊，直線y=

1

n

x-2總與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右兩支各有一個交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率e范圍為

 

．

Answer 1

分析：為了保證對?n∈N₊，直線y=

1

n

x-2總與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右兩支各有一個交點(diǎn)，只須：漸近線y=

b

a

x的斜率大于當(dāng)n取最小值1時，直線y=

1

n

x-2的斜率即可，根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答：解：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y=

b

a

x，
當(dāng)n取最小值1時，直線y=

1

n

x-2的斜率為1
為了保證對?n∈N₊，直線y=

1

n

x-2總與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1左、右兩支各有一個交點(diǎn)，
只須：漸近線y=

b

a

x的斜率大于當(dāng)n取最小值1時，直線y=

1

n

x-2的斜率即可，
∴

b

a

＞1，離心率e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+(

b

a

) 2＞2，
∴e＞

2

，
故答案為：(

2

，+∞)．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時要注意挖掘隱含條件．