Question

已知向量(1，0)， (0，1)，規(guī)定A，其中∈R、m∈N*，且A．函數(shù)在處取得極值，在處的切線平行于向量．

(1)求的解析式；

(2)求的單調(diào)區(qū)間；

(3)是否存在正整數(shù)，使得方程在區(qū)間(m，m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等實(shí)根?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)由已知，

，∴，

解得，∴．

(2)∵

由得，或，即在(1，+∞)和(一∞，)上單調(diào)遞增．

    由得，，即在(，1)上單調(diào)遞減．

    (3)方程等價(jià)于

    令．

    則，令得或．

    當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)減函數(shù)，

    當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)增函數(shù)．

    ∵

∴方程在區(qū)間(1，)，(，2)內(nèi)分別有唯一實(shí)根

  ∴存在正整數(shù)使得方程在區(qū)間(1，2)上有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．