Question

如圖，二面角P-CB-A為直二面角，∠PCB=90°，∠ACB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1，BC=2，PM=1．
（1）求證：AC⊥BM；
（2）求二面角M-AB-C的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知二面角P-CB-A為直二面角，且∠ACB=90°，由面面垂直的性質得到ACAC⊥平面PCBM，進一步得到AC⊥BM；
（2）以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，設出P點坐標，由直線AM與直線PC所成的角為60°求出P點坐標，然后求出平面MAB的一個法向量，找出平面ABC的一個法向量，由法向量所成角的余弦值得到二面角的余弦值，結合同角三角函數基本關系式求得二面角M-AB-C的正切值．
解答：（1）證明：∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC?平面ABC，
平面ABC∩平面PCBM=BC，∴AC⊥平面PCBM，
∵BM?平面PCBM，∴AC⊥BM；
（2）以C為坐標原點，以CA，CB，CP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系C-xyz，
如圖，設P（0，0，z），（z＞0），
則B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z）．
，．
由直線AM與PC所成的角為60°，得
即，
解得z=．
∴，，設平面MAB的一個法向量為．
由，得，取y=2，得x=4，z=．
求得，取平面ABC的一個法向量=（0，0，1）
則==，
由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的正弦值為．
故二面角M-AB-C的正切值為．
點評：本題考查了直線和平面垂直的判定，考查了平面和平面垂直的性質，考查了學生的空間想象能力和思維能力，訓練了利用向量法求二面角的大小，解答的關鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．