Question

如圖，在平面內直線EF與線段AB相交于C點，∠BCF=30°，且AC=CB=4，將此平面沿直線EF折成60°的二面角α-EF-β，BP⊥平面α，
點P為垂足．
（Ⅰ） 求△ACP的面積；
（Ⅱ） 求異面直線AB與EF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）在平面α內，過點P作PM⊥EF，點M為垂足，連接BM，則∠BMP為二面角α-EF-β的平面角，由已知中二面角α-EF-β的平面角為60°，結合，∠BCF=30°，且AC=CB=4，求出CP長及sin∠ACP，代入三角形面積公式，即可得到△ACP的面積；
（Ⅱ）過點A作AQ∥EF，交MP于點Q，則∠BAQ是AB與EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ，解三角形△BAQ即可得到AB與EF所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ） 如圖，在平面α內，過點P作PM⊥EF，點M為垂足，
連接BM，則∠BMP為二面角α-EF-β的平面角．
在Rt△BMC中，由∠BCM=30°，CB=4，得CM=2

3

，BM=2．
在Rt△BMP中，由∠BMP=60°，BM=2，得MP=1．在Rt△CMP中，
由CM=2

3

，MP=1，得CP=

13

，cos∠PCM=

2 3

13

，sin∠PCM=

1

13

．
故 sin∠ACP=sin（150°-∠PCM）=

3 3

2 13

．所以S_△ACP=3

3

．…（7分）
（Ⅱ） 如圖，過點A作AQ∥EF，交MP于點Q，
則∠BAQ是AB與EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ．
在△BMQ中，由∠BMQ=60°，BM=MQ=2，得BQ=2．…（10分）
在Rt△BAQ中，由AQ=AC•cos30°+CM=4

3

，BQ=2，得tan∠BAQ=

BQ

AQ

=

3

6

．
因此AB與EF所成角的正切值為

3

6

．…（13分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，其中（I）的關鍵是構造出∠BMP為二面角α-EF-β的平面角，進而解三角形求出CP長及sin∠ACP，（II）的關鍵是構造出∠BAQ是AB與EF所成的角．