Question

某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是

1

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，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子開始在第0站，選手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次，若擲出朝上的點數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點數(shù)，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時，該游戲結束．設棋子跳到第n站的概率為；{P_n-P_n-1}
（1）求P₀，P₁，P₂；
（2）求證：{P_n-P_n-1}為等比數(shù)列；
（3）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

分析：（1）棋子在0站是一個必然事件，得到發(fā)生的概率等于1，擲出朝上的點數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點數(shù)，則棋子向前跳兩站，根據(jù)正方體各個面出現(xiàn)的概率得到結果．
（2）由題意知連續(xù)三項之間的關系，根據(jù)得到的關系式，仿寫一個關系式，兩個式子相減，構造一個新數(shù)列是連續(xù)兩項之比是一個常數(shù)，得到等比數(shù)列．
（3）寫出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中間項得到首項和末項之間的關系，得到玩該游戲獲勝的概率．

解答：解：（1）∵棋子在0站是一個必然事件，得到發(fā)生的概率等于1，
擲出朝上的點數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；
若擲出其余點數(shù)，則棋子向前跳兩站，
棋子跳到第二站的概率時
∴P0=1，P1=

1

3

，P2=

7

9

（2）由題意知：Pn=

1

3

Pn-1+

2

3

Pn-2
∴Pn-Pn-1=-

2

3

(Pn-1-Pn-2)
∴數(shù)列{P_n-P_n-1}是首項為P1-P0=-

2

3

公比為-

2

3

的等比數(shù)列   
（3）由（2）知Pn-Pn-1=(-

2

3

)n由累和得 
P99=

3

5

[1-(

2

3

)100]
所以玩該游戲獲勝的概率為P99=

3

5

[1-(

2

3

)100]

點評：本題考查概率的實際應用，是一個中檔題目，題目涉及到概率的計算，本題解題的關鍵是看出題目中要利用累加的方法．