Question

某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子開始在第0站，選手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次，若擲出朝上的點數為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點數，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時，該游戲結束．設棋子跳到第n站的概率為；{P_n-P_n-1}
（1）求P₀，P₁，P₂；
（2）求證：{P_n-P_n-1}為等比數列；
（3）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

解：（1）∵棋子在0站是一個必然事件，得到發生的概率等于1，
擲出朝上的點數為1或2，棋子向前跳一站；
若擲出其余點數，則棋子向前跳兩站，
棋子跳到第二站的概率時
∴
（2）由題意知：
∴
∴數列{P_n-P_n-1}是首項為公比為的等比數列
（3）由（2）知由累和得

所以玩該游戲獲勝的概率為
分析：（1）棋子在0站是一個必然事件，得到發生的概率等于1，擲出朝上的點數為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點數，則棋子向前跳兩站，根據正方體各個面出現的概率得到結果．
（2）由題意知連續三項之間的關系，根據得到的關系式，仿寫一個關系式，兩個式子相減，構造一個新數列是連續兩項之比是一個常數，得到等比數列．
（3）寫出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中間項得到首項和末項之間的關系，得到玩該游戲獲勝的概率．
點評：本題考查概率的實際應用，是一個中檔題目，題目涉及到概率的計算，本題解題的關鍵是看出題目中要利用累加的方法．