Question

直線l過拋物線y²=2px(p＞0）的焦點且與拋物線有兩個交點，對于拋物線上另外兩點A、B直線l能否平分線段AB？試證明你的結論.

Answer 1

直線l不能垂直平分線段AB

如果直線l垂直平分線段AB，連AF、BF，∵F（，0）∈l. ∴|FA|=|FB|,設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),顯然x₁>0,x₂>0,y₁≠y₂,
于是有（x₁–）²+y₁²=(x₂–)²+y₂²,
整理得:（x₁+x₂–p)(x₁–x₂)=y₂²–y₁²=–2p(x₁–x₂).
顯然x₁≠x₂(否則AB⊥x軸，l與x軸重合，與題設矛盾）得: 
x₁+x₂–p=–2p即x₁+x₂=–p<0,這與x₁+x₂>0矛盾，
故直線l不能垂直平分線段AB.