Question

過點M（-3，2）且被圓x²+y²=25截得弦長為8的直線的方程為

5x-12y+39=0或x+3=0

．

Answer 1

分析：算出圓心為O（0，0）、半徑r=5，根據垂徑定理算出直線到圓心的距離等于3．當直線斜率存在時設直線方程為y-2=k（x+3），由點到直線的距離公式建立關于k的等式，解出k=

5

12

，可得此時直線的方程為5x-12y+39=0；當直線斜率不存在時，直線方程為x+3=0，到圓心的距離也等于3，符合題意．由此即可得出所求的直線方程．

解答：解：圓x²+y²=5的圓心為O（0，0），半徑r=5．設圓心到直線的距離為d，
①當過點M（-3，2）的直線斜率存在時，設直線方程為y-2=k（x+3），即kx-y+3k+2=0，
∵直線圓x²+y²=25截得弦長為8，
∴根據垂徑定理，得

r2-d2

=4，即

25-d2

=4，解得d=3．
根據點到直線的距離公式，得

|3k+2|

k2+1

=3，解之得k=

5

12

，
此時直線的方程為y-2=

5

12

（x+3），化簡得5x-12y+39=0；
②當過點M（-3，2）的直線斜率不存在時，
直線方程為x=-3，即x+3=0．
由圓心到直線的距離d=3，可得直線被圓截得的弦長也等于8，符合題意．
綜上所述，可得所求的直線方程為5x-12y+39=0或x+3=0．
故答案為：5x-12y+39=0或x+3=0

點評：本題給出經過定點的直線被圓O截得的弦長，求直線的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．