Question

8、設三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中點，則PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，則H是△ABC的外心，其中正確命題的命題是

①②③④

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，然后對應選項一一判定即可．

解答：解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因為PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正確．
③若∠ABC=90°，H是AC的中點，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，則PA=PB=PC；正確．
設三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中點，則PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，則H是△ABC的外心，正確．
故答案為：①②③④

點評：本題考查棱錐的結構特征，考查學生發現問題解決問題的能力，三垂線定理的應用，是中檔題．