Question

已知圓錐內有一個內接圓柱，若圓柱的側面積最大，則此圓柱的上底面將已知圓錐的體積分成小、大兩部分的比是（　　）

• A、1：1
• B、1：2
• C、1：8
• D、1：7

Answer 1

分析：先設圓柱高與半徑分別為x、y．圓錐底面半徑為m，圓錐高為n，將要求的兩個體積進行相比．然后利用圓錐截面的三角形相似，化簡，側面積最大，轉化為二次函數的最大值問題，解答即可．

解答：解：設圓柱高與半徑分別為x、y，圓錐底面半徑為m，圓錐高為n，

V柱

V錐

=

πxy2

1 3 πnm2

=

3xy2

nm2

…①
圓錐截面的三角形相似

y

m

=

n-x

n

…②
S_柱側=2xyπ…③，由①②③得，
S_柱側=

6x

πnm

(1-

x

n

)V錐
從這個式子可以看出．當一個錐體給定后，圓柱的只與圓柱的高有關．
所以x=

n

2

，圓柱的側面積最大．此時圓柱的上底面將已知圓錐的體積分成小、大兩部分的比是1：7
故選D．

點評：本題考查棱錐的體積，解題中：相似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比為1：2，由此可見，小的與全體體積之比為1：8，從而得出小、大兩部分之比（特別提醒：小、大之比并非高之比的立方）．