Question

一種拋硬幣游戲的規則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）設拋擲5次的得分為ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ；
（2）求恰好得到n（n∈N^*）分的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意分析的所拋5次得分ξ為獨立重復試驗，利用二項分布可以得此變量的分布列；
（2）由題意分析出令p_n表示恰好得到n分的概率．不出現n分的唯一情況是得到n-（1分）以后再擲出一次反面．“不出現n分”的概率是1-p_n，“恰好得到n-（1分）”的概率是p_n-1，利用題意分析出遞推關系即可．

解答：解：（1）所拋5次得分ξ的概率為P（ξ=i）=

C

i-5 5

(

1

2

)5（i=5，6，7，8，9，10），
其分布列如下：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	1 32	5 32	5 16	5 16	5 32	1 32

Eξ=

10

i=5

i•

C

i-5 5

(

1

2

)5=

15

2

（分）．
（2）令p_n表示恰好得到n分的概率．不出現n分的唯一情況是得到n-（1分）以后再擲出一次反面．
   因為“不出現n分”的概率是1-p_n，“恰好得到n-（1分）”的概率是p_n-1，
因為“擲一次出現反面”的概率是

1

2

，所以有1-p_n=

1

2

p_n-1，
即p_n-

2

3

=-

1

2

(pn-1-

2

3

)．
于是{pn-

2

3

}是以p₁-

2

3

=

1

2

-

2

3

=-

1

6

為首項，以-

1

2

為公比的等比數列．
所以p_n-

2

3

=-

1

6

(-

1

2

)n-1，即p_n=

1

3

[2+(-

1

2

)n]．
答：恰好得到n分的概率是

1

3

[2+(-

1

2

)n]．

點評：此題考查了獨立重復試驗，數列的遞推關系求解通項，重點考查了學生的題意理解能力及計算能力．