Question

已知

a

+

b

+

c

=

0

，|

a

|=3，|

b

|=5，|

c

|=7
（1）求

a

與

b

的夾角θ的余弦值；
（2）求實數k，使k

a

+

b

與

a

-2

b

垂直．

Answer 1

分析：（1）先將等式變形，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的數量積公式求出夾角；
（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，將向量的模、夾角代入，解方程求出k．

解答：解：（1）∵

a

+

b

+

c

=

0

，
∴

a

+

b

=-

c

∴

a

2+2

a

•

b

+

b

2=

c

2
∵|

a

|=3，|

b

|=5，|

c

|=7
∴2

a

•

b

=15
2×3×5cosθ=15
∴cosθ=

1

2

∴θ=

π

3

（2）(k

a

+

b

)⊥ (

a

-2

b

)∴(k

a

+

b

)• (

a

-2

b

)=0
即k

a

2+

a

•

b

-2k

a

•

b

-2

b

2=0
∵|

a

|=3，|

b

|=5，|

c

|=7，θ=

π

3

∴k=-

85

12

點評：本題考查向量的性質：向量的模的平方等于向量的平方；向量的數量積公式；向量垂直的充要條件．