Question

（2012•自貢一模）已知

a

+

b

+

c

=

0

，且

a

與

c

的夾角為60°，|

b

|=

3

|

a

|，則cos＜

a

，

b

＞等于（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．-

  1

  2

• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：由題意可得-

b

=

a

+

c

，平方化簡可得 |

c

| =| 

a

|，故以

a

、

c

 為鄰邊的平行四邊形是一個菱形，從而得到

a

、

b

 的夾角等于150°，從而求得cos＜

a

，

b

＞的值．

解答：解：由題意可得-

b

=

a

+

c

，平方可得 3

a

2=

a

2+2

a

•

c

+

c

2=

a

2 +2|

a

|•|

c

|• cos60°+

c

2．
即2|

a

|2=|

a

|•|

c

|+|

c

|2，|

a

|2-|

c

|2=|

a

|•|

c

|-|

a

|2，
∴（|

a

|+|

c

|）（|

a

|-|

c

|）=|

a

|（|

c

|- |

a

|），
化簡可得 （|

a

|-|

c

|）•（2|

a

|+|

c

|）=0，∴|

c

| =| 

a

|．
故以

a

、

c

 為鄰邊的平行四邊形是一個菱形．
如圖所示：設

AB

=

a

，

AD

=

c

，則

AC

=

a

+

c

，s設 

AM

=-

AC

，
由

a

 與

c

的夾角等于60°，可得∠BAD=60°，∠BAC=30°，故∠MAB=150°，即

a

、

b

 的夾角等于150°，
∴cos＜

a

，

b

＞=cos150°=-

3

2

，
故選D．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，判斷以

a

、

c

 為鄰邊的平行四邊形是一個菱形，是解題的關鍵，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．